Вращение твердого тела

Момент инерции

Тело, которое вращается вокруг оси x с угловой скоростью, обладает энергией вращения
ω{\ displaystyle \ omega}

Э.рОтзнак равно12⋅JИкс⋅ω2{\ displaystyle E _ {\ mathrm {rot}} = {\ frac {1} {2}} \ cdot J_ {x} \ cdot \ omega ^ {2}}

С участием

  • JИкс{\ displaystyle J_ {x}}: Момент инерции тела вокруг оси x
  • ω{\ displaystyle \ omega}: Угловая скорость .

В общих чертах это можно выразить как:

Э.рОтзнак равно12ω→ТJω→знак равно12∑α,βзнак равно13Jαβωαωβ{\ displaystyle {\ begin {align} E _ {\ mathrm {red}} & = {\ frac {1} {2}} \; {\ vec {\ omega}} ^ {T} \, J \; {\ vec {\ omega}} \\ & = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {\ alpha, \ beta = 1} ^ {3} \, J _ {\ alpha \ beta} \; \ omega _ {\ alpha} \; \ omega _ {\ beta} \ end {align}}}

С участием

Jαβ{\ displaystyle J _ {\ alpha \ beta}}: Тензор инерции .

Чтобы указать энергию тела, которое вращается вокруг любой оси ( единичный вектор с ), угловая скорость выражается в каждом случае компонентами его вектора в направлениях x, y и z:
п→{\ displaystyle {\ vec {n}}}|п→|знак равно1{\ displaystyle \ left| {\ vec {n}} \ right | = 1}

ω→знак равноωп→знак равноω⋅(п1п2п3){\ displaystyle {\ vec {\ omega}} = \ omega \, {\ vec {n}} = \ omega \ cdot {\ begin {pmatrix} n_ {1} \\ n_ {2} \\ n_ {3} \\\ конец {pmatrix}}}

Следующее относится к энергии вращения:

⇒Э.рОтзнак равно12∑α,βзнак равно13Jαβпαпβω2знак равно12⋅Jп⋅ω2{\ displaystyle {\ begin {align} \ Rightarrow E _ {\ mathrm {red}} & = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {\ alpha, \ beta = 1} ^ {3} J _ {\ альфа \ бета} \; n _ {\ alpha} \; n _ {\ beta} \; \ omega ^ {2} \\ & = {\ frac {1} {2}} \ cdot J_ {n} \ cdot \ omega ^ {2} \ конец {выровнено}}}

с моментом инерции относительно любой оси :
Jп{\ displaystyle J_ {n}}п→{\ displaystyle {\ vec {n}}}

Jпзнак равно∑α,βзнак равно13Jαβпαпβ{\ displaystyle J_ {n} = \ sum _ {\ alpha, \ beta = 1} ^ {3} J _ {\ alpha \ beta} \; n _ {\ alpha} \; n _ {\ beta}}

Примеры

Сфера с радиусом имеет момент инерции . Если он катится по самолету со скоростью , его угловая скорость и, следовательно, его полная кинетическая энергия будут:р{\ displaystyle r}Jзнак равно25мр2{\ Displaystyle J = {\ tfrac {2} {5}} \, мистер ^ {2}}v{\ displaystyle v}ωзнак равноvр{\ displaystyle \ omega = {\ tfrac {v} {r}}}

Э.kяпзнак равноЭ.трапs+Э.рОтзнак равно12мv2+12⋅25мр2⋅ω2знак равно7-е10мv2{\ displaystyle {\ begin {align} E _ {\ mathrm {kin}} & = E _ {\ mathrm {trans}} + E _ {\ mathrm {red}} \\ & = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2} + {\ frac {1} {2}} \ cdot {\ frac {2} {5}} mr ^ {2} \ cdot \ omega ^ {2} \\ & = {\ frac {7 } {10}} мв ^ {2} \ конец {выровнено}}}

Тело, которое вращается вокруг диагонали через свою поверхность xy, имеет угловую скорость:

ω→знак равноωп→{\ displaystyle {\ vec {\ omega}} = \ omega \, {\ vec {n}}} С участием п→знак равно12(11){\ displaystyle {\ vec {n}} = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} {\ begin {pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\\ end {pmatrix}}}
Отсюда для момента инерции относительно этой оси вращения следует:
Jпзнак равноп→ТJп→знак равно12(1,1,)(J11J12J13J12J22-еJ23J13J23J33)12(11)знак равно12⋅(J11+J12+J12+J22-е){\ displaystyle {\ begin {align} J_ {n} & = {\ vec {n}} ^ {T} J \, {\ vec {n}} \\ & = {\ frac {1} {\ sqrt { 2}}} \ left (1,1,0 \ right) \ left ({\ begin {matrix} J_ {11} & J_ {12} & J_ {13} \\ J_ {12} & J_ {22} & J_ {23} \\ J_ {13} & J_ {23} & J_ {33} \\\ end {matrix}} \ right) {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ left ({\ begin {matrix} 1 \ \ 1 \\ 0 \\\ end {matrix}} \ right) \\ & = {\ frac {1} {2}} \ cdot (J_ {11} + J_ {12} + J_ {12} + J_ { 22}) \ конец {выровнено}}}
Вращательная энергия получается из:
Э.рОтзнак равно12⋅Jп⋅ω2знак равно14-й⋅(J11+J12+J12+J22-е)⋅ω2{\ displaystyle {\ begin {align} E _ {\ mathrm {red}} & = {\ frac {1} {2}} \ cdot J_ {n} \ cdot \ omega ^ {2} \\ & = {\ frac {1} {4}} \ cdot (J_ {11} + J_ {12} + J_ {12} + J_ {22}) \ cdot \ omega ^ {2} \ end {выравнивается}}}

Закон сохранения момента импульса

В разделе, посвященном поступательному движению тела, мы ввели понятие импульса тела p→. По аналогии с поступательным движением для вращательного движения мы вводим понятие момента импульса.

Определение 5

Момент импульса вращающегося тела – это физическая величина, которая равняется произведению момента инерции тела I на угловую скорость ω его вращения.

Для обозначения момента импульса используется латинская буква L. 

L=lω

Поскольку ε=∆ω∆t; ∆t→, уравнение вращательного движения можно представить в виде:

M=Iε=I∆ω∆t или M∆t=I∆ω=∆L.

Получаем:

M=∆L∆t; (∆t→).

Мы получили это уравнение для случая, когда I = const. Но оно будет справедливо и тогда, когда момент инерции тела будет изменяться в процессе движения.

Если суммарный момент M внешних сил, действующих на тело, равен нулю, то момент импульса L=Iω относительно данной оси сохраняется: ∆L=, если M=.

Определение 6

Следовательно,

L=lω=const.

Так мы пришли к закону сохранения момента импульса.

Пример 3

В качестве примера приведем рисунок, на котором изображено неупругое вращательное столкновение дисков, которые насажены на общую для них ось.

Рисунок 10. Неупругое вращательное столкновение двух дисков. Закон сохранения момента импульса: I1ω1=(I1+I2)ω.

Мы имеем дело с замкнутой системой. Для любой замкнутой системы закон сохранения момента импульса будет справедливым. Он выполняется и в условиях экспериментов по механике, и в условиях космоса, когда планеты движутся по своим орбитам вокруг звезды.

Мы можем записать уравнение динамики вращательного движения как для неподвижной оси, так и для оси, которая перемещается равномерно или с ускорением. Вид уравнения не изменится и в том случае, если ось движется ускоренно. Для этого должно выполняться два условия: ось должна проходить через центр массы тела, а ее направление в пространстве остается неизменным.

Пример 4

Предположим, что у нас есть тело (шар или цилиндр), которое катится по наклонной плоскости с некоторым трением.

Рисунок 11. Качение симметричного тела по наклонной плоскости.

Ось вращения O проходит через центр масс тела. Моменты силы тяжести mg→ и силы реакции N→ относительно оси O равны нулю. Момент M создает только сила трения: M = FтрR.

Уравнение вращательного движения:

ICε=ICaR=M=FтрR,

где ε – угловое ускорение катящегося тела, a – линейное ускорение его центра масс, IC – момент инерции относительно оси O, проходящей через центр масс.

Второй закон Ньютона для поступательного движения центра масс записывается в виде:

ma=mg sin α-Fтр.

Исключая из этих уравнений Fтр, получим окончательно:

α=mg sin θICR2+m.

Из этого выражения видно, что быстрее будет скатываться с наклонной плоскости тело, обладающее меньшим моментом инерции. Например, у шара IC=25mR2, а у сплошного однородного цилиндра IC=12mR2. Следовательно, шар будет скатываться быстрее цилиндра.

Всё ещё сложно?
Наши эксперты помогут разобраться

Все услуги

Решение задач

от 1 дня / от 150 р.

Курсовая работа

от 5 дней / от 1800 р.

Реферат

от 1 дня / от 700 р.

Суть разницы между потенциальной и кинетической энергией

Если внешнее воздействие минимально или сводится к нулю, изучаемая система всегда будет тяготеть к состоянию, в котором ее потенциальная энергия также будет стремиться к нулю. Например, подброшенный вверх мячик достигнет предела этой энергии в верхней точке траектории движения и в тот же момент начнет падать вниз. В это время накопленная в полете энергия преобразуется в движение (выполняемую работу). Для потенциальной энергии в любом случае существует взаимодействие как минимум двух тел (в примере с мячиком гравитация планеты оказывает на него влияние). Кинетическую энергию можно рассчитать индивидуально для любого движущегося тела.

Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела

В тех случаях, когда мы имеем дело с твердым телом, которое вращается относительно неподвижной оси, мы можем обобщить второй закон Ньютона. На рисунке ниже мы изобразили твердое тело произвольной формы, вращающееся относительно некоторой оси, проходящей через точку О. Ось вращения расположена перпендикулярно плоскости рисунка.

Δmi – это произвольный малый элемент массы, на который оказывают воздействие внешние и внутренние силы. Равнодействующая всех сил есть Fi→. Ее можно разложить на две составляющие: касательную составляющую Fiτ→ и радиальную Fir→. Радиальная составляющая Fir→ создает центростремительное ускорение an.

Рисунок 9. Касательная Fiτ→ и радиальная Fir→ составляющие силы Fi→ действующей на элемент Δmi твердого тела.

Касательная составляющая Fiτ→ вызывает тангенциальное ускорение aiτ→ массы Δmi. Второй закон Ньютона, записанный в скалярной форме, дает

∆miaiτ=Fiτsin θ или ∆miriε=Fisin θ,

где ε=aiτri – угловое ускорение всех точек твердого тела.

Если обе части написанного выше уравнения умножить на ri, то мы получим:

∆miri2ε=Firisin θ=Fili=Mi.

Здесь li – плечо силы, Fi,→Mi – момент силы.

Теперь нужно аналогичные соотношения записать для всех элементов массы Δmi вращающегося твердого тела, а затем просуммировать левые и правые части. Это дает:

∑∆miri2ε=∑Mi.

Стоящая в правой части сумма моментов сил, действующих на различные точки твердого тела, состоит из суммы моментов всех внешних сил и суммы моментов всех внутренних сил.

∑M=∑Miвнешн+∑Miвнутр.

Но сумма моментов всех внутренних сил согласно третьему закону Ньютона равна нулю, поэтому в правой части остается только сумма моментов всех внешнихсил, которые мы будем обозначать через M. Так мы получили основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела.

Определение 4

Угловое ускорение ε и момент сил M в этом уравнении являются величинами алгебраическими.

Iε=M

Обычно за положительное направление вращения принимают направление против часовой стрелки.

Возможна и векторная форма записи основного уравнения динамики вращательного движения, при которой величины ω→, ε→, M→ определяются как векторы, направленные по оси вращения.

Концепция и классификация

Ещё в древности энергию определяли как свойство или способность, которые тела и вещества должны производить вокруг себя и которые во время преобразований обмениваются через два механизма: в форме работы или тепла. Правда, тогда еще не знали, что таким образом выполняется закон сохранения энергии. Но кроме физических изменений, проявляющихся, например, в подъёме объекта, его транспортировке, деформации или нагревании, энергия также присутствует в химических изменениях, таких как сжигание куска дерева или разложение воды электрическим током.

Энергия — это способность тела работать, а также сила, которая выполняет работу. Она может быть представлена в виде различных переходных форм:

  • тепловой;
  • механической;
  • химической;
  • электрической;
  • ядерной.

Взаимосвязь разных энергий

Потенциальная и кинетическая энергия изменяются исключительно при взаимодействии тел, когда действующая на тела сила совершает работу, значение которой отлично от нуля. В замкнутой системе работа силы тяготения или упругости равняется изменению потенциальной энергии объектов со знаком «-»: A = — (Ep2 – Ep1).

Работа силы тяготения или упругости равняется изменению энергии: A = Ek2 – Ek1.

Из сравнения обоих равенств ясно, что изменение энергии объектов в замкнутой системе равняется изменению потенциальной энергии и противоположно ему по знаку: Ek2 – Ek1 = — (Ep2 – Ep1), или иначе: Ek1 + Ep1 = Ek2 + Ep2.

Из указанного равенства видно, что сумма этих двух энергий тел в замкнутой механической системе и взаимодействующих силами упругости и тяготения, всегда остается постоянной. Исходя из вышеизложенного, можно сделать вывод о том, что в процессе изучения механической системы следует рассматривать взаимодействие потенциальной и кинетической энергий.

Общие сведения и понятия

Кинетическая энергия системы является одной из важнейших ее характеристик. Физики выделяют два вида такой энергии в зависимости от вида движения:

• поступательная;

• вращения.

Кинетическая энергия (Ек) представляет собой разность между полной энергией системы и энергией покоя. Исходя из этого, можно сказать, что она обусловлена движением системы. Тело имеет ее только тогда, когда оно движется. В состоянии покоя объекта она равняется нулю. Кинетическая энергия любых тел зависит исключительно от скорости движения и их масс. Полная энергия системы находится в прямой зависимости от скорости ее объектов и расстояния между ними.

История и этимология

Прилагательное « кинетический» происходит от греческого слова κίνησις kinesis , что означает «движение». Дихотомия между кинетической и потенциальной энергией восходит к аристотелевским концепциям действительности и потенциальности .

Принцип в классической механике , что E & alpha мв 2 была впервые разработана Готфрида Лейбница и Иоганна Бернулли , который описал кинетическую энергию как живой силы , живой силы . Виллем Грейвсанд из Нидерландов предоставил экспериментальные доказательства этой связи. Сбрасывая грузы с разной высоты в глиняный блок, Виллема Грейвзанд определил, что их глубина проникновения пропорциональна квадрату их скорости удара. Эмили дю Шатле осознала значение эксперимента и опубликовала объяснение.

Термины кинетическая энергия и работа в их нынешнем научном значении восходят к середине 19 века. Раннее понимание этих идей можно приписать Гаспару-Гюставу Кориолису , который в 1829 году опубликовал статью под названием Du Calcul de l’Effet des Machines, в которой излагалась математика кинетической энергии. Уильяму Томсону , позже лорду Кельвину, приписывают создание термина «кинетическая энергия» c. 1849–51. Рэнкин , который ввел термин «потенциальная энергия» в 1853 году и фраза «фактическая энергия», дополняющая его, позже цитирует Уильяма Томсона и Питера Тейта, которые заменили слово «кинетическая» на «фактическая».

Не можем остановиться: момент импульса

Допустим, нам нужно остановить космический корабль с массой 40 т, который находится на околоземной орбите. Для этого потребуется затратить немалые усилия. Почему? Все дело во вращательном импульсе космического корабля.

В главе 9 подробно описывается понятие импульс материальной точки, который выражается следующей формулой:

где ​\( m \)​ — это масса, a ​\( v \)​ — скорость материальной точки.

По аналогии, при описании вращательного движения физики используют понятие вращательный импульс (который в русскоязычной научной литературе чаще называют моментом импульса материальной точки. — Примеч. ред.):

где ​\( l \)​ — это момент инерции, а ​\( \omega \)​ — угловая скорость материальной точки.

Момент импульса в системе СИ измеряется в кг·м2·с-1 (более подробно системы единиц измерения описываются в главе 2). Одним из наиболее важных свойств момента импульса является закон сохранения момента импульса.

Сохраняем момент импульса

Закон сохранения момента импульса гласит: момент импульса сохраняется, если равна нулю сумма всех моментов внешних сил. Этот закон проявляется во многих обыденных ситуациях. Например часто приходится видеть, как мастера фигурного катания на льду вращаются с широко разведенными в стороны руками, а затем резко приближают их к своему телу и сильно ускоряют свое вращение. Дело в том, что таким образом они уменьшают свой момент инерции и, согласно закону сохранения момента импульса, увеличивают свою угловую скорость. Зная начальную угловую скорость вращения фигуриста ​\( \omega_0 \)​ и его моменты инерции в позе с разведенными руками ​\( I_0 \)​ и в позе с сомкнутыми руками ​\( I_1 \)​, легко найти конечную угловую скорость ​\( \omega_1 \)​ по формуле:

Однако этот закон удобно использовать не только в таких простых ситуациях. Возвращаясь к примеру с космическим кораблем на околоземной орбите, следует отметить, что его орбита далеко не всегда является строго круглой. Чаще всего орбиты спутников Земли и других планет имеют эллиптическую форму. Поэтому без закона сохранения момента импульса было бы гораздо сложнее определять параметры их орбитального движения.

Пример закона сохранения момента импульса: вычисляем скорость спутника

Предположим, что космический корабль вращается на эллиптической орбите вокруг Плутона. Причем в самой близкой к Плутону точке орбиты спутник находится на расстоянии 6·106 м от центра Плутона и имеет скорость 9·103 м/с. Вопрос: какой будет скорость спутника в самой далекой точке эллиптической орбиты на расстоянии 2·107 м от центра Плутона?

Для ответа на этот вопрос нужно воспользоваться законом сохранения момента импульса, поскольку на спутник не действуют никакие внешние моменты сил (сила гравитационного притяжения направлена параллельно радиусу и не создает момента). Однако закон сохранения момента импульса нужно преобразовать так, чтобы вместо угловых скоростей в его формулировке фигурировали тангенциальные скорости.

Итак, рассмотрим формулу закона сохранения момента импульса:

где ​\( I_{бл} \)​ — это момент инерции спутника в самой близкой точке, \( I_{дал} \) — это момент инерции спутника в самой далекой точке, \( \omega_{бл} \) — угловая скорость спутника в самой близкой точке, а \( \omega_{дал} \) — угловая скорость спутника в самой далекой точке.

Предположим, что размеры спутника гораздо меньше расстояния до центра Плутона и спутник можно считать материальной точкой. Тогда его моменты инерции равны:

и

где ​\( r_{бл} \)​ — это расстояние от спутника до центра Плутона в самой близкой точке эллиптической орбиты, а \( r_{дал} \) — это расстояние от спутника до центра Плутона в самой далекой точке эллиптической орбиты.

Кроме того:

и

Подставляя все перечисленные соотношения в формулу закона сохранения момента импульса

получим:

Отсюда путем несложных алгебраических преобразований, получим:

Подставляя значения, получим:

Итак, в ближайшей к Плутону точке орбиты спутник будет иметь скорость 9000 м/с, а в самой дальней — 2700 м/с. Этот результат мы легко получили только благодаря знанию закона сохранения момента импульса.

Особенности кинетической энергии при вращении

Сравним формулу кинетической энергии при вращении с формулой кинетической энергии тела для прямолинейного движения:

$$E_k ={v^2 m \over 2}$$

Можно видеть их близость. Но, в формуле для вращения для материальной точки присутствует дополнительный множитель – радиус. Его необходимость объясняется тем, что при повороте на один и тот же угол, материальная точка, расположенная на более далеком расстоянии от центра вращения, проходит больший путь, по сравнению с более близкой точкой. Поэтому и ее мгновенная линейная скорость, а значит, и кинетическая энергия получается больше. Для твердых тел различной формы радиус вращения также учитывается при определении момента инерции.

В том, что у материальной точки с большим радиусом вращения кинетическая энергия больше, легко убедиться, раскручивая груз на шнуре. Если раскручивать груз с постоянной частотой (скажем, один оборот в секунду), то при малой длине шнура это сделать легко, однако, чем длиннее шнур, тем приходится прилагать больше усилий, хотя масса шнура остается постоянной.

Именно поэтому с помощью пращи камень можно метнуть дальше, чем просто рукой. Больший радиус вращения позволяет сообщить камню большую энергию.

Рис. 3. Метание камня с помощью пращи.

Что мы узнали?

Формула кинетической энергии вращающейся материальной точки аналогична формуле кинетической энергии поступательного движения материальной точки. Вместо линейной скорости используется угловая скорость, а вместо массы – момент инерции. Поскольку момент инерции материальной точки зависит от радиуса вращения, кинетическая энергия вращения материальной точки зависит не только от угловой скорости, но и от радиуса вращения.

  1. /5

    Вопрос 1 из 5

Энергия при вращении системы

Во время вращения тела вокруг оси каждый его элементарный объем массой (mi) описывает окружность радиусом ri. В этот момент объем имеет линейную скорость υi. Поскольку рассматривается твердое тело, угловая скорость вращения всех объемов будет одинакова: ω = υ1/r1 = υ2/r2 = … = υn/rn (1).

Кинетическая энергия вращения твердого тела представляет собой сумму всех таких же энергий его элементарных объемов: E = m1υ1 2/2 + miυi 2/2 + … + mnυn 2/2 (2).

При использовании выражения (1), получаем формулу: E = Jz ω 2/2, где Jz – это момент инерции тела вокруг оси Z.

При сравнении всех формул становится ясно, что момент инерции – это и есть мера инертности тела во время вращательного движения. Формула (2) подходит для объектов, вращающихся относительно неподвижной оси.

Формула кинетической энергии при вращении

Кинетической называют энергию движения.

Рис. 2. Кинетическая энергия.

Найдем кинетическую энергию вращающейся материальной точки.

Пусть изначально материальная точка с моментом инерции $J = mR^2$ вращается по траектории радиусом $R$ c угловой скоростью $\omega$. Начнем равномерно тормозить вращение, чтобы до полной остановки точка повернулась на угол $\alpha$.

При равномерном торможении сила торможения $F$ и момент этой силы $M=FR$ будут постоянными. А значит, согласно Второму Закону Ньютона, угловое ускорение, получаемое материальной точкой, тоже будет постоянным, и равным:

$$\varepsilon = {M \over J}$$

Для равноускоренного вращения угол поворота и угловая скорость и угловое ускорение связаны соотношением:

$$\alpha ={\omega_2^2-\omega_1^2\over 2\varepsilon}$$

Учитывая полную остановку вращения, и формулу ускорения, получаем:

$$\alpha ={\omega^2\over 2\varepsilon}={\omega^2 J \over 2M}$$

Во время поворота на этот угол на тело постоянно действовал момент силы торможения $M$, а значит была совершена работа:

$$A = \alpha M={\omega^2 J \over 2}$$

Поскольку материальная точка остановилась – то вся первоначальная кинетическая энергия $E_k$ была направлена на совершение работы, и, таким образом, эта энергия равна совершенной работе.

В итоге мы получили формулу полной кинетической энергий вращательного движения материальной точки:

$$E_k ={\omega^2 J \over 2}={\omega^2 mR^2\over 2}$$

Кинетическая энергия в квантовой механике

В квантовой механике наблюдаемые, такие как кинетическая энергия, представлены в виде операторов . Для одной частицы массы m оператор кинетической энергии появляется как член в гамильтониане и определяется в терминах более фундаментального оператора импульса . Оператор кинетической энергии в случае можно записать как
п^{\ displaystyle {\ hat {p}}}

Т^знак равноп^22м.{\ displaystyle {\ hat {T}} = {\ frac {{\ hat {p}} ^ {2}} {2m}}.}

Обратите внимание , что это может быть получено путем замены на в классическом выражении для кинетической энергии с точки зрения импульса ,
п{\ displaystyle p}п^{\ displaystyle {\ hat {p}}}

Ekзнак равноп22м.{\ displaystyle E _ {\ text {k}} = {\ frac {p ^ {2}} {2m}}.}

В картине Шредингера , имеет вид где производная берется по координатам позиции и , следовательно
,п^{\ displaystyle {\ hat {p}}}-яℏ∇{\ displaystyle -i \ hbar \ nabla}

Т^знак равно-ℏ22м∇2.{\ displaystyle {\ hat {T}} = — {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ nabla ^ {2}.}

Среднее значение кинетической энергии электрона, для системы из N электронов, описываемой волновой функцией, представляет собой сумму ожидаемых значений одноэлектронного оператора:
⟨Т^⟩{\ displaystyle \ left \ langle {\ hat {T}} \ right \ rangle} |ψ⟩{\ displaystyle \ vert \ psi \ rangle}

⟨Т^⟩знак равно⟨ψ|∑язнак равно1N-ℏ22ме∇я2|ψ⟩знак равно-ℏ22ме∑язнак равно1N⟨ψ|∇я2|ψ⟩{\ displaystyle \ left \ langle {\ hat {T}} \ right \ rangle = \ left \ langle \ psi \ left \ vert \ sum _ {i = 1} ^ {N} {\ frac {- \ hbar ^ { 2}} {2m _ {\ text {e}}}} \ nabla _ {i} ^ {2} \ right \ vert \ psi \ right \ rangle = — {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m_ { \ text {e}}}} \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ left \ langle \ psi \ left \ vert \ nabla _ {i} ^ {2} \ right \ vert \ psi \ right \ rangle }

где — масса электрона, — оператор Лапласа, действующий на координаты i- го электрона, а суммирование ведется по всем электронам.
ме{\ displaystyle m _ {\ text {e}}}∇я2{\ Displaystyle \ набла _ {я} ^ {2}}

Функционал плотности формализм квантовой механики требует знаний электронной плотности только , т.е. формально не требуют знаний волновой функции. Учитывая электронную плотность , точный функционал кинетической энергии N-электронов неизвестен; однако для конкретного случая одноэлектронной системы кинетическая энергия может быть записана как
ρ(р){\ displaystyle \ rho (\ mathbf {r})}

Тρзнак равно18∫∇ρ(р)⋅∇ρ(р)ρ(р)d3р{\ displaystyle T = {\ frac {1} {8}} \ int {\ frac {\ nabla \ rho (\ mathbf {r}) \ cdot \ nabla \ rho (\ mathbf {r})} {\ rho (\ mathbf {r})}} d ^ {3} r}

где известен как функционал кинетической энергии фон Вайцзеккера .
Тρ{\ Displaystyle Т }

Кинетическая энергия — вращательное движение

Кинетическая энергия вращательного движения в этом случае составляет лишь 0 6 % от энергии поступательного движения.

Кинетическая энергия вращательного движения твердого тела может быть получена так.

Изменение кинетической энергии вращательного движения молекулы сводится к изменению ее момента импульса. В квантовой теории доказывается, что изменение момента импульса не может быть любым — оно кратно постоянной Планка.

Выражение кинетической энергии вращательного движения твердого тела вокруг его центра инерции хорошо известно.

Если кинетическую энергию вращательного движения ( 1 / 2) / ш2 относительно оси спирали приравнять кинетической энергии теплового движения — ( / 2) kT при 300 К, то чему окажется равна угловая скорость ш вращательного движения.

Рассмотрим сначала кинетическую энергию вращательного движения однородного шара.

При вычислении кинетической энергии вращательного движения шарошечного долота, переводника, вала и ротора забойного двигателя определение кинетической энергии шарошки имеет свои особенности.

Полученные соотношения выражают постоянство кинетической энергии вращательного движения и постоянство величины момента количеств движения.

Переходя к составлению выражения кинетической энергии вращательного движения бегуна, примем ось вращения ОС за ось Сг, а перпендикуляр к ней в плоскости векторов too и ю — за ось Су; ось Сх направим перпендикулярно к этой плоскости. Начало системы осей Схуг помещено в центре тяжести бегуна С. Так как бегун представляет собой тело вращения, то оси системы Схуг будут главными центральными осями инерции.

В этих опытах момент импульса постоянен, но кинетическая энергия вращательного движения изменяется.

Выправляющий аппарат раскручивает поток жидкости, отбрасываемый винтом, и преобразует кинетическую энергию вращательного движения в статический напор, необходимый для осуществления циркуляции во всем объеме реактора.

Шар, скатываю — Л -. m V — — — I 2, ( 41.

Моменты инерции удобно использовать при описании как момента импульса, так и кинетической энергии вращательного движения твердого тела.

Лвр ] — детерминант матрицы, составленной из коэффициентов квадратичного выражения (5.3) для кинетической энергии вращательного движения молекулы, содержит в себе моменты инерции молекулы.

Первое слагаемое Гп есть кинетическая энергия поступательного движения тела, а второе слагаемое ТВр — кинетическая энергия вращательного движения тела.

Теорема Штейнера о параллельном переносе оси вращения

Рассмотрим случай, когда твердое тело движется вокруг некоторой неподвижной оси. Момент инерции этого тела инерции I можно выразить через момент инерции IC этого тела относительно оси, проходящей через центр масс тела и параллельной первой.

Рисунок 6. К доказательству теоремы о параллельном переносе оси вращения.

Пример 2

Для примера возьмем твердое тело, форма которого произвольна. Обозначим центр масс С. Выберем систему координат ХУ с началом координат . Совместим центр масс и начало координат.

Одна из осей проходит через центр масс С. Вторая ось пересекает произвольно выбранную точку Р, которая расположена на расстоянии d от начала координат. Выделим некоторый малый элемент массы данного твердого тела Δmi.

По определению момента инерции:

IC=∑∆mi(xi2+yi2),IP=∑mi(xi-a)2+yi-b2

Выражение для IP можно переписать в виде:

IP=∑∆mi(xi2+yi2)+∑∆mi(a2+b2)-2a∑∆mixi-2b∑∆miyi.

Два последних члена уравнения обращаются в нуль, так как начало координат в нашем случае совпадает с центром масс тела.

Так мы пришли к формуле теоремы Штейнера о параллельном переносе оси вращения.

Теорема 2

Для тела, которое вращается относительно произвольной неподвижной оси, момент инерции, согласно теореме Штейнера, равен сумме момента инерции этого тела относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.

IP=IC+md2,

где m – полная масса тела.

Нужна помощь преподавателя?
Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Рисунок 7. Модель момента инерции.

На рисунке ниже изображены однородные твердые тела различной формы и указаны моменты инерции этих тел относительно оси, проходящей через центр масс.

Рисунок 8. Моменты инерции IC некоторых однородных твердых тел.

Теорема о движении центра масс

Определение 3

Кинестетическая энергия вращающегося твердого тела при плоском движении будет равна сумме кинетической энергии поступательного движения и кинетической энергии вращения относительно оси, которая проведена через центр масс и располагается перпендикулярно плоскостям, в которых движутся все точки тела:

Ek=mvC22+ICω22,

где m – полная масса тела, IC – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс.

Рисунок 4. Качение колеса как сумма поступательного движения со скоростью vC→ и вращения с угловой скоростью ω=vCR относительно оси O, проходящей через центр масс.

В механике используется теорема о движении центра масс.

Теорема 1

Любое тело или несколько взаимодействующих тел, которые представляют собой единую систему, обладают центром масс. Этот центр масс под воздействием внешних сил перемещается в пространстве как материальная точка, в которой сосредоточена вся масса системы.

На рисунке мы изобразили движение твердого тела, на которое действуют силы тяжести. Центр масс тела движется по траектории, которая близка к параболе, тогда как траектория остальных точек тела является более сложной.

Рисунок 5. Движение твердого тела под действием силы тяжести.

Баланс энергии при совершении работы

Если тело имеет некоторую энергию, то существуют возможности передачи этой энергии другим телам. В частности, если тело обладает потенциальной энергией (например, пружина в сжатом состоянии), то оно может передать эту энергию другим телам, изменяя их положение, и совершая работу.

Согласно законам сохранения энергии, общая сумма энергии в изолированной системе остается постоянной. А значит, если вся энергия тела уйдет на совершение работы, то, определив эту работу, мы можем вычислить энергию, которой обладало тело перед совершением работы.

Рис. 1. Закон сохранения механической энергии.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Adblock
detector